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Lógica Difusa: Operadores Difusos Generalizados

Rubén

Norma T – Norma Triangular

La intersección de A y B puede representarse en general como:

T:[0,1] \times [0,1] \to [0,1]

o bien como un operador binario:

\mu_{A \cap B} (x,y) = T( \mu_A (x), \mu_B (y) ) = \mu_A (x) \bigtriangleup \mu_B (y)

La norma T debe cumplir las siguientes propiedades:

  • Acotada
T(0,0) = 0 \land T(a,1) = T(1,a)=a
  • Monotónica
a \leq c \land b \leq d \to T(a,b) \leq T(c,d)
  • Conmutativa
T(a,b) = T(b,a)
  • Asociativa
T(a, T(b,c)) = T(T(a,b),c)

Ejemplos

Mínimo:

T_{min}(a,b) = \min(a,b) = a \land b

Producto Frontera:

T_{bp} = \max ( 0 , a + b - 1 ) = 0 \lor (a + b -1)

Producto Algebraico:

T_{ab} (a,b) = a b

Producto Drástico

T_{dp} = \left\{ \begin{matrix}
a, & si & b = 1 \\
b, & si & a = 1 \\
0, & si & a, b < 1 \\
\end{matrix} \right.

Norma S – Norma Co-triangular

La intersección de A y B puede representarse en general como:

S : [0,1] \times [0,1] \to [0,1]

o bien como un operador binario:

\mu_{A \cup B} (x,y) = S( \mu_A(x), \mu_B(y) ) = \mu_A(x) \perp \mu_B(y)

La norma S debe cumplir las siguientes propiedades:

  • Acotada
S(1,1) = 1 \land T(a,0) = T(0,a) = a
  • Monotónica
a \leq c \land b \leq d \to S(a,b) \leq S(c,d)
  • Conmutativa
S(a,b) = S(b,a)
  • Asociativa
S(a, S(b,c)) = S(S(a,b),c)

Ejemplos

Máximo:

S_{max} = \max(a,b) = a \lor b

Suma Frontera:

S_{bs} (a,b) = \min (1, a + b ) = 1 \land (a+b)

Suma Algebraica:

S_{as} (a,b) = a + b - a b

Suma Drástica:

T_{dp} = \left\{ \begin{matrix}
a, & si & b = 0 \\
b, & si & a = 0 \\
1, & si & a, b > 0 \\
\end{matrix} \right.

Complemento Difuso

El complemento difuso de un conjunto difuso A puede generalizarse considerándolo como una función N:

N:[0,1] \to [0,1] \text{ tal que } \mu_{ \neg A}(x) = N( \mu_{A} (x) )

El complemento difuso debe cumplir las siguientes propiedades:

  • Acotada
N(0) = 1 \land N(1) = 0
  • Monotónica
a \leq b \land \to N(a) \geq N(b)
  • Involutiva
N(N(a)) = a

Ejemplos:

Complemento clásico:

N_c(a)  = 1 - a

Complemento de Yager:

N_w(a) = (1 - a^w)^{\frac{1}{w}} \\
\text{donde } w > 0

Complemento de Sugeno:

N_s(a) = \frac{1-a}{1+sa} \\
\text{donde } s > -1

[Hackeando Tec]. (2015, Agosto 23). Lógica Difusa – 2.2.1 Operadores Difusos Generalizados (Normas T) – Hackeando Tec [Video]. YouTube. https://youtu.be/VbWH1QO9VLU?si=BMd-YjaAfB_bLXRV

[Hackeando Tec]. (2015, Agosto 23). Lógica Difusa – 2.2.2 Operadores Difusos Generalizados (Normas S) – Hackeando Tec [Video]. YouTube. https://youtu.be/dgVnKBYX0FA?si=tioByhYM7nBEdajq

[Hackeando Tec]. (2015, Agosto 23). Lógica Difusa – 2.2.3 Operadores Difusos Generalizados (Complemento Difuso) – Hackeando Tec [Video]. YouTube. https://youtu.be/SM9gY325Gm4?si=OJ-RASRsJEjuYnAB