La forma más completa de escribir la ecuación de segundo grado es la siguiente:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\
A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R} \\
\Delta = B^2-4AC \leftarrow \text{ discriminante }

Valor del Discriminante	Tipo de Cónica	Característica Visual
$B^2 – 4AC < 0$	Elipse	Una forma ovalada cerrada. (Si $A=C$ y $B=0$, es un círculo).
$B^2 – 4AC = 0$	Parábola	Una curva abierta que se aleja infinitamente en una dirección.
$B^2 – 4AC > 0$	Hipérbola	Dos curvas simétricas que se alejan una de la otra.

Si $B=0$ los ejes de la curva están alineados con los ejes $x$ y $y$, de lo contrario la curva está rotada en el plano

Si $D=0$ o $E=0$ la curva está desplazada del origen

Casos Degenerados (o especiales)

• Un punto: Por ejemplo, $x^2+y^2=0$ (solo el origen).
• Dos líneas que se cruzan: Como $x^2-y^2=0$.
• Ninguna figura: Como $x^2+y^2=-1$ (no existen números reales que cumplan esto).

Desplazamientos del origen

Cuando el centro de una cónica se desplaza del origen (0,0) a un punto $(h, k)$, la ecuación sufre una transformación llamada traslación. En términos algebraicos, esto significa que cada $x$ se reemplaza por $(x – h)$ y cada $y$ se reemplaza por $(y-k)$.

Si tomamos como ejemplo una elipse “derechita” (sin rotación, $B=0$):

• En el origen: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Fuera del origen: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Fórmulas rápidas para hallar el centro $(h, k)$

h = -\frac{D}{2A} \\ k = -\frac{E}{2C}

2Ah + Bk + D = 0 \\
Bh + 2Ck + E = 0

El círculo

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \\
(x−h)^2+(y−k)^2=r^2

Para que sea un círculo, la ecuación general debe cumplir dos condiciones:

1. A y C deben ser iguales: (Los coeficientes de $x²$ e $y^2$ son los mismos).
2. No hay término $xy$: ($B=0$, no hay rotación).

Si tienes la forma general y quieres graficar, lo mejor es “regresar” a la forma estándar:

1. Agrupa las $x$ con las $x$ y las $y$ con las $y$
2. Pasa el número solo ($F$) al otro lado.
3. Completa el cuadrado: Suma $\left(\frac{D}{2} \right) ^2$ y $\left(\frac{E}{2} \right) ^2$ en ambos lados de la ecuación.

La elipse

La elipse es básicamente un círculo que ha sido “estirado”. Mientras que en el círculo todos los puntos están a la misma distancia del centro, en la elipse esa distancia varía

Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Elipse horizontal

\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(x-h)^2}{b^2}=1

Elipse vertical

\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(x-h)^2}{a^2}=1

• $a$ (Semieje mayor): Es la distancia del centro al punto más lejano. Siempre es el número más grande.
• $b$ (Semieje menor): Es la distancia del centro al punto más cercano.
• $A \neq C$, pero ambos positivos o negativos
• $c^2=a^2-b^2$, distancia focal, los focos siempre están sobre el eje mayor

La parábola

En la parábola solo una de las variables está elevada al cuadrado. Esto hace que la curva sea abierta y se extienda hacia el infinito.

Parábola horizontal

Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\
(y−k)^2=4p(x−h)

Parábola vertical

Ax^2+Dx+Ey+F=0 \\
(x−h)^2=4p(y−k)

La hipérbola

Visualmente, parece una parábola duplicada y enfrentada, pero su geometría es mucho más rígida debido a sus asíntotas.

La hipérbola horizontal

Ax^2-Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\
\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \\
y-k = \pm \frac{b}{a}(x-h) \leftarrow \text{ Asíntotas}

La hipérbola vertical

-Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0 \\
\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \\
y-k = \pm \frac{b}{a}(x-h) \leftarrow \text{ Asíntotas}

• $A \cdot C < 0$, los términos siempre tienen signos opuestos
• $a^2$ siempre es el denominador del término positivo, no necesariamente el número más grande.
• $c^2 = a^2+b^2$

¡Cuidado! A veces la ecuación en su forma general puede parecer “engañosa” si está multiplicada por −1. Siempre asegúrate de que el número que queda solo al otro lado (1 en la forma estándar) sea positivo antes de decidir cuál es $a$ y cuál es $b$. La clave está en el proceso de llevarla a la forma estándar.