Funciones de Varias Variables
Cálculo Multivariado Matemáticas

Planos y Superficies en Tres Dimensiones

Rubén

Los Planos y Superficies no es solo “matemática”, es la base del modelado 3D, el renderizado y la física de motores de videojuegos (como Unity o Unreal), entre muchas otras aplicaciones.

Planos: El “Suelo” y los “Muros” del Mundo Virtual

Un plano es la superficie más simple en ℝ3\mathbb{R}^3. Se define por una ecuación lineal:

ax+by+cz=d
  • Construcción geométrica: Se necesita un punto por donde pasa y un vector normal (perpendicular) que define su inclinación.
  • Curvas de nivel: Las curvas de nivel de un plano son rectas paralelas entre sí.
  • En TI: Los planos se usan para colisiones (suelos), límites de cámaras y superficies de interfaz de usuario (UI).

Superficies Cuadráticas: Las Primitivas 3D

Las superficies cuadráticas son las gráficas de ecuaciones de segundo grado en tres variables. Son los “bloques de construcción” curvos.

SuperficieEcuación EstándarCaracterísticas VisualesUso en TI / Entornos
Elipsoidex2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1Una esfera “estirada”. Si a=b=ca=b=c, es una esfera.Modelado de personajes, hitboxes de colisión esféricas.
Conoz2c2=x2a2+y2b2\frac{z^2}{c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}Dos conos unidos por el vértice.Representación de campos visuales de cámaras o focos de luz.
Paraboloidez=x2a2+y2b2z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}Forma de tazón o antena satelital.Reflectores de luz, antenas de red, optimización de costos.
Hiperboloide (1 hoja)x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 1Forma de “cintura de avispa” o torre de enfriamiento.Arquitectura virtual moderna, estructuras resistentes.
Hiperboloide (2 hojas)−x2a2−y2b2+z2c2=1-\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1Dos copas separadas enfrentadas.Representación de campos de fuerzas dipolares.
Paraboloide Hiperbólicoz=y2b2−x2a2z = \frac{y^2}{b^2} – \frac{x^2}{a^2}Forma de silla de montar.Puntos de silla en optimización de algoritmos de Machine Learning.

Curvas de Nivel vs. Superficie 3D

Una curva de nivel surge de “rebanar” la superficie con un plano horizontal (z=kz=k).

  • Si las curvas de nivel son círculos o elipses que se cierran, la superficie es un elipsoide o un paraboloide.
  • Si las curvas son hipérbolas, estamos ante un hiperboloide o un paraboloide hiperbólico.
  • Si las curvas de nivel están muy juntas, la superficie es empinada (cambio rápido de datos); si están separadas, la superficie es plana.

Graficación con Software

A. Software Matemático (GeoGebra / WolframAlpha)

Solo se introduce la ecuación implícita.

  • Ventaja: Rápido y visual.
  • Desventaja: No es programable para aplicaciones propias.

B. Python (Matplotlib / Plotly)

Fundamental para el análisis de datos y negocios digitales.

  • Se crean mallas de puntos (meshgrid) de xx y yy.
  • Se calcula zz para cada par.
  • Se genera el gráfico 3D interactivo.

C. Motores de Gráficos (Shaders en Unity/Unreal)

En entornos virtuales, las superficies cuadráticas se generan a menudo mediante SDF (Signed Distance Fields). Un programador escribe la ecuación de la superficie para que la tarjeta de video (GPU) sepa dónde dibujar los píxeles.

# Graficar: 
# z=x2+y2 (Paraboloide)
# z=y2−x2 (Silla de montar)
# x2+y2+z2=9 (Esfera/Elipsoide)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = X**2 - Y**2  # Cambiar esta ecuación para probar otras superficies

plt.contour(X, Y, Z)
plt.title("Mapa de Curvas de Nivel")
plt.show()