Cálculo

Derivadas

Rubén

Si f:I⊆ℝ→ℝf:I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} y x0∈Ix_0 \in I. Se define la derivada de la función ff en x0x_0, como:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

cuando éste existe. En tal caso decimos que la función ff es derivable (o diferenciable) en x0x_0. Si la función es derivable en todo punto x∈Ix \in I, decimos que es derivable en II.

La pendiente mTm_T de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de la abscisa x0x_0 (si existe), es igual a la derivada de la función ff en x0x_0. Es decir: mT=f′(x0)m_T = f'(x_0)

Si un cuerpo se mueve según la ley de movimiento x=f(t)x = f(t), la velocidad instantánea de este cuerpo en el instante t0t_0 es igual a la derivada de la función ff en t0t_0. Es decir que v=f′(t0)v = f'(t_0)

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Para las siguientes reglas de derivación considerar:

\begin{align*}
c & \quad \text{constante} \\
n & \quad n \in \mathbb{Q} \\
u & \quad u : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
v & \quad v : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
f & \quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{d}{dx} (c) & = 0 \\
\frac{d}{dx} (u+v) &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \\
\frac{d}{dx} (uv) & = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}  \\
\frac{d}{dx} (u^n) & = n u^{n-1} \frac{du}{dx}  \\
\frac{d}{dx} (cu) & = c\frac{du}{dx}  \\
\frac{d}{dx} (f_1 f_2 \dots f_k) & = f_1 f_2 \dots f_{k-1} \frac{d f_k}{dx}  + \\
& \quad f_1 f_2 \dots \frac{d f_{k-1}}{dx}  f_k + \\
& \quad \dots \\
& \quad f_1 \frac{d f_2}{dx}  \dots f_{k-1} f_k + \\
& \quad \frac{d f_1}{dx}  f_2 \dots f_{k-1} f_k + \\
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) & = \frac{v \frac{d u}{dx} -u\frac{d v}{dx} }{v^2} \\
\frac{d}{dx} \left( \frac{c}{u} \right) & = - \frac{c}{u^2}\frac{d u}{dx} \\
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{c} \right) & = \frac{\frac{d u}{dx}}{c} \\
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{d}{dx}(\sin u) &= \cos u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\cos u) &= -\sin u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\tan u) &= \sec^2 u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\cot u) &= -\csc^2 u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\sec u) &= \sec u \tan u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\csc u) &= -\csc u \cot u \frac{du}{dx} \\

\frac{d}{dx}(\sinh u) &= \cosh u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\cosh u) &= \sinh u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\tanh u) &= \operatorname{sech}^2 u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\coth u) &= -\operatorname{csch}^2 u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\operatorname{sech} u) &= -\operatorname{sech} u \tanh u \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\operatorname{csch} u) &= -\operatorname{csch} u \coth u \frac{du}{dx} \\

\frac{d}{dx}(\log_a u) &= \frac{1}{u \ln a} \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(\ln u) &= \frac{1}{u} \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(a^u) &= a^u \ln a \frac{du}{dx} \\
\frac{d}{dx}(e^u) &= e^u \frac{du}{dx} \\

\end{align*}

Pita Ruiz, C. (1997). Cálculo de una variable. Prentice Hall Hispanoamericana.