Cálculo

Límites

Rubén

Decir que el límite de la función f(x)f(x) cuando xx tiende a a es igual a LL

\lim_{x \to a}f(x) = L

Significa que a medida que las xx se encuentran más próximas al valor aa, las imágenes f(x)f(x) se encontrarán más próximas al valor LL.

Podemos tener las imágenes f(x)f(x) tan cercanas al valor LL como nosotros queramos, teniendo a xx lo suficientemente cerca del valor aa.

Nota. Tomado de Cálculo del límite de una función en un punto, por Fisicalab, s. f. (https://www.fisicalab.com/apartado/calculo-limite-funcion-punto)

El valor del límite limx→a⁡f(x)\lim_{x \to a} f(x) no tiene nada que ver con f(x)f(x) en x=ax = a (es decir, con el valor de f(a)f(a)), ya que:

  • Puede ser que LL sea igual a f(a)f(a): limx→2⁡x2=4\lim_{x \to 2} x^2 = 4
  • Puede ser que f(a)f(a) no exista: limx→1⁡x2−1x−1=2\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x-1} = 2
  • Puede ser que, aun existiendo f(a)f(a), el valor sea diferente de LL: limx→0⁡|sgn⁡x|=1\lim_{x \to 0} |\sgn x| = 1

Teoremas sobre límites

\begin{align*}
\lim_{x \to a} c & = c \\
\lim_{x \to a} x & = a \\
\lim_{x \to a} (f+g)(x) & = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \\
\lim_{x \to a} \left( f_1 f_2 \dots f_k \right) (x) & =    \left( \lim_{x \to a} f_1(x) \right) \left( \lim_{x \to a} f_2(x) \right) \dots \left( \lim_{x \to a} f_k(x) \right) \\
\lim_{x \to a} \left( c f(x) \right) & = c \lim_{x \to a} f(x) \\
\lim_{x \to a} x^n & = a^n; n \in \mathbb{N} \\
\lim_{x \to a} \left( \frac{f}{g} \right) (x) & = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}; \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \\

\end{align*}

Si f(x)f(x) es una función polinomial de grado nn:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si f(x)f(x) es una función racional y aa es un punto del dominio de la función:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Si f(x) cumple que \lim_{x \to a} f(x) = L, y n es un entero positivo:

\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}
\begin{align*}
\lim_{x \to a} \sin x & = \sin a \\
\lim_{x \to a} \cos x & = \cos a \\
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} & = 1 \\
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{x} & = \alpha \\
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x} & = \frac{\alpha}{\beta} \\
\end{align*}

Si limx→a⁡g(x)=k≠0\lim_{x \to a} g(x) = k \neq 0 y limx→a⁡h(x)=0\lim_{x \to a} h(x) = 0 entonces limx→a⁡g(x)h(x)=∞\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \infty

\lim_{x \to \infty} \frac{k}{x^n} = 0
\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0} = \begin{cases}
\infty & \text{si } n > m \\
0 & \text{si } n < m \\
\frac{a_n}{b_m} & \text{si } n = m \\
\end{cases}

El límite bilateral limx→a⁡f(x)\lim_{x \to a} f(x) existe si y solamente si los dos límites unilaterales limx→a−⁡f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) y limx→a+⁡f(x)\lim_{x \to a^+} f(x) existen y son iguales.

Pita Ruiz, C. (1997). Límites (Cap. 2). En Cálculo de una variable (pp. 63-121). Prentice Hall Hispanoamericana.

Fisicalab. (s. f.). Concepto de límite [Imagen GIF]. https://www.fisicalab.com/apartado/calculo-limite-funcion-punto