Los Números Reales y Funciones

El conjunto de los números reales

\begin{align*} \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} & \quad \text{números naturales} \\ \mathbb{Z}=\{\dots , -2, -1, 0, 1, 2 , \dots\} & \quad \text{números enteros} \\ \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b \in Z, b \neq 0 \} & \quad \text{números racionales} \\ \mathbb{I} & \quad \text{números irracionales} \\ \mathbb{R}=\{Q \cup I\} & \quad \text{números reales} \end{align*}

Valor Absoluto

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \gt 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Intervalos

Un intervalo de $\mathbb{R}$ es un subconjunto $I \subseteq \mathbb{R}$ que cumple con la siguiente propiedad: si $x,y \in I$ y $x<z<y$ entonces $z \in I$

Un intervalo cerrado $[a,b]$ incluye los valores $a$ y $b$

Un intervalo abierto $(a,b)$ no incluye los valores $a$ y $b$ .

Desigualdades

Todas las reglas que aplican a las ecuaciones son válidas en el caso de que el signo igual se cambie por un signo $<$ , $\leq$ , $>$ , o $\geq$ excepto cuando se multiplique o divida por un número negativo, en este caso la desigualdad “cambia de sentido”, si es $<$ cambia por $>$ , si es $\leq$ cambia por $\geq$ , etc.

Funciones

Una función real de una variable real es una regla que asocia a cada número real $x$ de un conjunto $D \subseteq \mathbb{R}$ (dominio de la función) un único número real $f(x)$ (imagen de $x$ bajo f $y$ se denota con:

f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}

Si el dominio de la función son todos los números reales se puede denotar como:

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

Si la función es de $n$ variables reales pero produce un solo resultado escalar se denota como:

f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

Si la función es una variable real pero produce un vector con $n$ resultados se denota como:

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n

Si la función es de $n$ variables reales y produce un vector con $m$ resultados se denota como:

f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m

Gráficas de funciones

Sea $f:D \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ; la gráfica de la función $f$ es el conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano cartesiano en donde $x$ esta en el dominio $D$ de $f$ , y $y = f(x)$

La grafica de $y=f(x-h)$ es la misma que la de $y=f(x)$ pero recorrida $h$ unidades sobre el eje $x$
La grafica de $y=f(x) + k$ es la misma que la de $y=f(x)$ pero recorrida $k$ unidades sobre el eje $y$

La grafica de $y=f(-x)$ es la reflexion de $y=f(x)$ respecto del eje $y$
La grafica de $y=-f(x)$ es la reflexion de $y=f(x)$ respecto del eje $x$

Operaciones con funciones

Función Suma

\begin{align*} f & : D_1 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ g & : D_2 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f+g & : D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ D & = D_1 \cap D_2 \\ (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \end{align*}

Función Producto

\begin{align*} f & : D_1 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ g & : D_2 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ fg & : D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ D & = D_1 \cap D_2 \\ (fg)(x) & = f(x) g(x) \end{align*}

Funcion Cociente

\begin{align*} f & : D_1 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ g & : D_2 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ \frac{f}{g} & : D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ D & = D_1 \cap D_2 - \{x \in D_2 : g(x) = 0\} \\ \left(\frac{f}{g}\right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \end{align*}

Funcion Compuesta

\begin{align*} f & : D_1 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ g & : D_2 \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ g(D_2) & = \{y \in \mathbb{R} | y = g(x), x \in D_2 \} \subseteq D_1 \\ f \circ g & : D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \end{align*}

Algunos Tipos de Funciones

Una funcion es algebraica si las opraciones que la función hace con x, para obtener su imagen f(x) son sólo algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, elevar a potencias o extraer raíces); de lo contrario la funcion es trascendente.

Función polinomial

\begin{align*} n & \geq 0, n \in \mathbb{Z} \\ f & : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ f(x) & = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \end{align*}

Función racional

\begin{align*} f(x) & = \frac{ \varphi (x) }{ \psi (x) } \\ \end{align*}

donde $\varphi (x)$ y $\psi (x)$ y son funciones polinomiales.

Función par

f(-x) = f(x)

Función impar

f(-x) = - f(x)

Función exponencial

\begin{align*} \text{Dominio de } f(x) & = e^x : \mathbb{R} \\ \text{Rango de } f(x) & = e^x : \mathbb{R}^+ \\ x < 0 \rightarrow e^x & < 1 \\ e^0 & = 1 \\ x >0 \rightarrow e^x & > 1 \\ e^x e^y & = e^{x+y} \\ \frac{e^x}{e^y} & = e^{x-y} \\ \left( e^x \right) ^y & = e^{xy} \end{align*}

Función logaritmo natural

\begin{align*} \text{Dominio de } f(x) & = \ln x : \mathbb{R}^+ \\ \text{Rango de } f(x) & = \ln x : \mathbb{R} \\ 0 < x < 1 \rightarrow \ln x & < 0 \\ \ln 1 & = 0 \\ x > 1 \rightarrow \ln x & > 0 \\ \ln (x y) & = \ln x + \ln y \\ \ln \frac{x}{y} & = \ln {x} - \ln{y} \\ \ln x^y & = y \ln x \end{align*}

y \log_{a} x \to x = a^y

Funciones Trogonométricas

El rango de las funciones $sin$ y $cos$ es $[-1, 1]$
Las funciones $sin$ y $cos$ son periodicas, de periodo $2\pi$
$\sin \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right) = \cos \theta$
$\cos \left( \frac{\pi}{2} – \theta \right) = \sin \theta$

$\tan \theta = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{ \cos \theta }{ \sin \theta} = \frac{ 1 }{ \tan \theta }$
$\sec \theta = \frac{ 1 }{ \cos \theta }$
$\csc \theta = \frac{ 1 }{ \sin \theta }$

Identidades trigonometricas

\begin{align*} \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha & = 1 \\ \sin (\alpha \pm \beta) & = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta) & = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \sin 2 \alpha & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2 \alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align*}

\begin{align*} 1 + \tan ^2 \alpha & = \sec^2 \alpha \\ 1 + \cot ^2 \alpha & = \csc^2 \alpha \\ \tan (\alpha \pm \beta) & = \frac{ \tan \alpha \pm \tan \beta }{ 1 \mp \tan \alpha \tan \beta } \\ \tan 2 \alpha & = \frac{ 2 \tan \alpha }{ 1 - \tan ^2 \alpha } \end{align*}

Pita Ruiz, C. (1997). Números reales y funciones (Cap. 1). En Cálculo de una variable (pp. 1-62). Prentice Hall Hispanoamericana.

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