Las Medidas de Dispersión son el complemento indispensable de las de tendencia central. Mientras que la media nos dice dónde está el “centro”, la dispersión nos dice qué tan estirados o concentrados están los datos alrededor de ese centro.

1. Rango ($R$)

Es la medida más simple. Indica la distancia total entre el valor máximo y el mínimo.

• Interpretación: Nos da una idea rápida de la amplitud total de los datos. A mayor rango, mayor dispersión potencial.
• No Agrupados: $R = X_{max} – X_{min}$
• Agrupados: $R = \text{Límite superior de la última clase} – \text{Límite inferior de la primera clase}$

2. Desviación Media ($DM$)

Es el promedio de las distancias absolutas de cada dato respecto a la media.

• Interpretación: Nos dice, en promedio, qué tan lejos está cada dato de la media, sin importar si es por arriba o por abajo (por eso usamos valor absoluto).
• No Agrupados: $DM = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}$
• Agrupados: $DM = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{n}$ (donde $x_i$ es la marca de clase).

3. Varianza ($\sigma^2$ o $s^2$)

Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.

• Interpretación: Es la base de la mayoría de los análisis estadísticos. Al elevar al cuadrado, penaliza más los valores que están muy alejados del centro. El problema es que el resultado queda en “unidades al cuadrado” (ej: $kg^2$).
• No Agrupados:
  • Población: $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i – \mu)^2}{N}$
  • Muestra¹: $s^2 = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n – 1}$
• Agrupados:
  • Población: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i – \mu)^2}{N}$
  • Muestra: $s^2 = \frac{\sum f_i (x_i – \bar{x})^2}{n – 1}$

4. Desviación Estándar ($\sigma$ o $s$)

Es la raíz cuadrada de la varianza.

• Interpretación: Es la medida de dispersión más utilizada porque vuelve a las unidades originales (si mides en kg, la desviación estándar es en kg). Nos indica cuánto se alejan “típicamente” los datos de la media.
• Método: Simplemente se calcula la raíz cuadrada del valor obtenido en la varianza.
  • Población: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
  • Muestra: $s = \sqrt{s^2}$

Si la desviación estándar es pequeña, los datos están muy juntos (la media es muy representativa). Si es grande, los datos están muy dispersos (la media es menos confiable para describir a un individuo del grupo); la desviación estándar ($\sigma$) es la que determina qué tan “gorda” o “flaca” es la curva.

Es vital distinguir los símbolos para no mezclar conceptos:

5. Coeficiente de Curtosis

Mientras que la desviación estándar nos dice qué tan “ancha” es la base de la campana, la curtosis nos habla de la “forma” de los extremos (colas) y el apuntamiento.

La desviación estándar es la “regla” con la que medimos qué tan lejos se van los datos. La curtosis utiliza esa “regla” para determinar si la concentración de datos en el centro y en las colas es “normal” o si hay algo extraño.

En términos matemáticos, la curtosis es el cuarto momento de la distribución. Se calcula dividiendo la variabilidad de cuarto grado entre la desviación estándar elevada a la cuarta potencia. Esto “normaliza” la medida para que podamos compararla sin importar las unidades.

Método de Obtención (Cálculo)

Usaremos el Coeficiente de Fisher, que es el más común y ajusta el resultado para que la normal sea 0.

A. Datos No Agrupados

Se calcula sumando las desviaciones de cada dato respecto a la media, elevadas a la cuarta potencia:

K = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4}{n \cdot s^4} - 3

• $x_i$: Cada dato.
• $\bar{x}$: Media muestral.
• $n$: Total de datos.
• $s$: Desviación estándar.
• $-3$: Es el ajuste para que la curva normal sea igual a cero.

B. Datos Agrupados (en tablas)

Aquí usamos la frecuencia absoluta ($f_i$) y la marca de clase ($x_i$):

K = \frac{\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^4}{n \cdot s^4} - 3

6. Coeficiente de Asímetría o Sesgo

Mientras que la curtosis mide qué tan “puntiaguda” es la curva, la asimetría nos indica hacia qué lado se estira la “cola” de la distribución respecto al centro.

• Asimetría Negativa ($A_s < 0$): La “cola” de la curva se alarga hacia la izquierda (hacia los valores menores). Esto significa que la mayoría de los datos están concentrados en valores altos, pero hay algunos pocos valores muy pequeños que “jalan” el promedio.
• Simétrica ($A_s = 0$): La curva es un espejo. Los datos se reparten por igual entre ambos lados del centro. Es el caso de la Distribución Normal.
• Asimetría Positiva ($A_s > 0$): La “cola” se alarga hacia la derecha (hacia los valores mayores). La mayoría de los datos son pequeños, pero hay valores extremos muy altos.

La relación clave: Media, Mediana y Moda para identificar la asimetría sin siquiera ver la gráfica:

1. Simétrica: $\text{Media} = \text{Mediana} = \text{Moda}$
2. Asimetría Positiva (Derecha): $\text{Media} > \text{Mediana} > \text{Moda}$ (La media es la más grande porque los valores extremos de la derecha la aumentan).
3. Asimetría Negativa (Izquierda): $\text{Media} < \text{Mediana} < \text{Moda}$ (La media es la más pequeña porque los valores extremos de la izquierda la disminuyen).

El método más utilizado para calcular el Coeficiente de Asímetria es el Coeficiente de Fisher (muy similar al de la curtosis, pero elevando a la potencia 3):

Para datos no agrupados:

A_s = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3}{n \cdot s^3}

• Elevado al cubo ($^3$): Al ser una potencia impar, conserva el signo. Si las desviaciones negativas son más fuertes, el resultado será negativo.
• Dividido por $s^3$: Al igual que en la curtosis, esto se hace para que el valor no tenga unidades (sea adimensional) y podamos comparar diferentes estudios.

… En resumen:

• Desviación Estándar: ¿Qué tan lejos están los datos del centro? (Ancho).
• Sesgo (Asimetría): ¿Hacia qué lado se inclina la montaña? (Lados).
• Curtosis: ¿Qué tan “picuda” es la montaña y qué tan “pesadas” son las laderas? (Punta y colas).

Ejercicio: Análisis de Tiempos de Entrega

Una pizzería quiere analizar cuánto tarda en entregar sus pedidos. Se toma una muestra de 5 pedidos (en minutos): Datos ($x_i$): 20, 22, 22, 23, 33

Paso 1: Medir el Centro (Media – $\bar{x}$)

Sumamos los datos y dividimos entre $n=5$.

\bar{x} = \frac{20 + 22 + 22 + 23 + 33}{5} = \frac{120}{5} = \mathbf{24 \text{ minutos}}

• Interpretación: En promedio, un cliente espera 24 minutos.

Paso 2: Medir la Dispersión (Desviación Estándar – $s$)

Primero calculamos las distancias al cuadrado para obtener la varianza muestral ($n-1$):

1. $(20-24)^2 = 16$
2. $(22-24)^2 = 4$
3. $(22-24)^2 = 4$
4. $(23-24)^2 = 1$
5. $(33-24)^2 = 81$

• Sumatoria = 106
• Varianza ($s^2$) = 106 / 4 = 26.5
• Desviación Estándar ($s$) $= \sqrt{26.5} \approx 5.15 \text{ minutos}$.
• Interpretación: Los repartos suelen variar unos 5 minutos arriba o abajo de la media. El dato “33” es el que más está “empujando” esta dispersión.

Paso 3: Medir la Forma (Curtosis – $K$)

Elevamos las distancias a la cuarta potencia para ver el peso de las colas (usando la fórmula de Fisher):

1. (-4)⁴ = 256
2. (-2)⁴ = 16
3. (-2)⁴ = 16
4. (-1)⁴ = 1
5. (9)⁴ = 6,561

• Sumatoria = 6,850

Ahora aplicamos la fórmula: $K = \left[ \frac{\sum(x_i – \bar{x})^4}{n \cdot s^4} \right] – 3$

• $s^4 = (5.15)^4 \approx 702.25$
• $K = \left[ \frac{6,850}{5 \cdot 702.25} \right] – 3 = \left[ \frac{6,850}{3,511.25} \right] – 3 = 1.95 – 3 = -1.05$

Paso 4. Medir la Asimetría (Sesgo)

Fórmula a utilizar (Fisher): $A_s = \frac{\sum (x_i – \bar{x})^3}{n \cdot s^3}$

A diferencia de la varianza (al cuadrado), elevar al cubo mantiene el signo negativo. Esto permite que las “colas” se cancelen entre sí si son simétricas, o que una domine sobre la otra.

Ya tenemos el numerador ($\sum = 648$). Ahora calculemos el denominador:

1. Denominador ($n \cdot s^3$):
   • $s^3 = (5.15)^3 \approx 136.6$
   • $n \cdot s^3 = 5 \cdot 136.6 = 683$
2. Coeficiente ($A_s$):
   • $A_s = \frac{648}{683} \approx +0.95$

Comprobación rápida con la regla de oro:

• Moda = 22
• Mediana = 22
• Media = 24
• $\text{Media (24)} > \text{Mediana} (22) \ge \text{Moda} (22) \rightarrow$ ¡Se confirma la Asimetría Positiva!

Análisis Global

Si solo miramos la Media (24 min), el dueño de la pizzería pensaría que todo está bien. Pero al integrar las otras medidas, descubrimos la historia completa:

1. Inestabilidad (Desviación Estándar): Una desviación de 5.15 minutos en un promedio de 24 es significativa (más del 20%). Indica que el servicio no es constante.
2. Forma Aplanada (Curtosis Negativa): El valor de -1.05 nos indica una distribución Platicúrtica.
   • ¿Qué significa esto en la vida real? Que no hay una concentración fuerte de pedidos exactamente en los 24 minutos. Por el contrario, los tiempos están “desparramados”.
   • El valor “33” es un valor extremo que estira la curva hacia la derecha. La curtosis negativa nos dice que la “montaña” de datos es baja y los resultados están muy dispersos en un rango amplio, en lugar de estar agrupados en un pico central claro.
3. Asimetría: Una asimetria positiva, de +0.95 indica que la distribución tiene una “cola” larga hacia la derecha.

Media (μ): 24
±1σ: 18.5 y 29.5 (68% en una curva de distribución normal)
±2σ: 13 y 35 (95% en una curva de distribución normal)
±3σ: 7.5 y 40.5 (99.7% en una curva de distribución normal)

Qué observar en esta gráfica:

1. El Pico (Moda): Verás que la mayor parte de los datos se concentran en el lado izquierdo (alrededor de los 22 minutos).
2. El “Hueco” y el Outlier: Hay un espacio vacío entre el bloque principal de entregas y el pedido de 33 minutos. Este es el culpable de que la curva no sea una campana perfecta.
3. La Media Desplazada: Nota que la Media (24) no está en el pico más alto, sino que está “arrastrada” hacia la derecha por el valor de 33. Esto es lo que llamamos Sesgo Positivo.
4. Aplanamiento (Curtosis): Al estar los datos tan dispersos en lugar de amontonados en el centro, la curva no se ve puntiaguda, sino más bien como una colina baja y extendida.

Conclusión para la toma de decisiones:

Señor dueño, su promedio es bueno, pero su proceso es impredecible. Tiene pocos pedidos cerca del promedio y demasiada variabilidad. Ese pedido de 33 minutos está arruinando su consistencia y aplanando su curva de calidad.

1. Dividimos entre $n – 1$. Esto se conoce como Corrección de Bessel. Porque cuando tomamos una muestra, tendemos a subestimar la variabilidad real de la población. Dividir por un número un poco más pequeño ($n-1$) hace que el resultado sea un poco más grande, compensando ese error y dando una estimación más precisa de la población. ↩︎