El Punto: La unidad básica $P(x,y,z)$

Para dibujar un punto con precisión, lo mejor es usar el método de la “caja” o proyecciones:

1. Ubica en el plano base ($xy$): Camina $x$ unidades sobre el eje de las abscisas y luego $y$ unidades paralelamente al eje de las ordenadas.
2. Eleva o baja ($z$): Desde ese punto en el “suelo”, sube o baja verticalmente las unidades indicadas en $z$.
3. Visualización: Para que no parezca que el punto está “flotando” sin sentido, dibuja líneas punteadas que lo conecten con los ejes.

Distancia entre dos puntos:

d = \sqrt{ (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2 }

Vectores en el espacio

En el espacio, los vectores se representan a través de una terna de ordenadas.

Si $v$ se representa un segmento de recta que desde un punto inicial $p$ hasta un punto final $q$, entonces

v = (v_1, v_2, v_3) = (q_1 - p_1, q_2 - p_2, q_3 - p_3)

Sean $u = ( u_1, u_2, u_3 ), v = (v_1, v_2, v_3 ) \in \mathbb{R}^3; c \in \mathbb{R}$, entonces:

1. Igualdad de vectores: $u = v \Leftrightarrow u_1 = v_1, u_2 = v_2, u_3 = v_3$
2. $cv= (cv_1, cv_2, cv_3)$
3. $u+v=(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)$
4. Longitud de un vector: $||v|| = \sqrt{ v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 }$
5. Vector unitario: $\frac{v}{||v||} = \left( \frac{1}{||v||} \right) (v_1, v_2, v_3)$
6. Vectores paralelos: $u=cv$
7. Ángulo entre vectores: $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||}$
8. Cosenos directores: $\cos \alpha = \frac{v_1}{||v||}, \cos \beta = \frac{v_2}{||v||}, \cos \gamma = \frac{v_3}{||v||}$

La Recta: Dirección y trayectoria

En R3, una recta no se define solo con una pendiente, sino con un punto de partida $P_0$​ y un vector director $v$.

• Cómo dibujarla:
  1. Dibuja el punto inicial $P_0​(x_0​,y_0​,z_0​)$.
  2. Desde ese punto, traza el vector $v=(a,b,c)$.
  3. Extiende una línea infinita que pase por $P_0$​ y siga exactamente la misma inclinación que el vector.
• Ecuación vectorial: $r(t)=P_0​+tv$

1. Los componentes de la ecuación vectorial de la recta

La ecuación es: $r(t)=P_0​+tv$

• $r(t)$ (El Punto Destino): Es el “punto resultante”. Represent las coordenadas $(x,y,z)$ donde se encuentra el objeto en un momento determinado.
• $P_0$ (El Punto de Anclaje): Es el punto de partida o posición inicial. De aquí sale la recta. Sus coordenadas son $(x_0​,y_0​,z_0​)$.
• $v$ (El Vector Director): Es la “flecha” que indica hacia dónde apunta la recta y con qué inclinación. No tiene una posición fija, solo nos da la dirección.
• $t$ (El Parámetro): En ingeniería de software suele ser el Tiempo. Es un número escalar que estira o encoge al vector $v$ para llegar a cualquier punto de la recta.

2. ¿Cómo funciona visualmente?

Imagina que quieres programar el disparo de un láser en un entorno virtual:

1. $P_0$ es la punta del arma del jugador (su posición en el mapa).
2. $v$ es hacia dónde está apuntando el jugador (su vector de visión).
3. $t$ es la distancia que recorre el láser.
   • Si $t=0$, el láser está en el arma.
   • Si $t=5$, el láser avanzó 5 unidades en esa dirección.
   • Si $t$ es negativo, el láser iría “hacia atrás” de la pistola.

3. De Vectorial a Paramétrica

Como las computadoras procesan los ejes por separado, solemos descomponer $r(t)$ en tres ecuaciones simples:

Si $P_0​=(x_0​,y_0​,z_0​)$ y $v=(a,b,c)$, entonces:

• $x=x_0​+at$
• $y=y_0​+bt$
• $z=z_0​+ct$

que resultan ser las ecuaciones paramétricas y $v$ es el vector director.

Esto es lo que verías dentro del código de un objeto en Unity o Unreal Engine para actualizar su posición en cada frame.

\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}

La curva: el camino paramétrico

A diferencia de la recta, la curva cambia de dirección constantemente. Se define mediante funciones que dependen de un parámetro (usualmente el tiempo t): $r(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩$.

• Ejemplo clásico (La Hélice): Imagina un punto que gira en un círculo en el plano $xy$ mientras sube uniformemente en $z$.
• Cómo dibujarla:
  1. Tabula 4 o 5 valores de $t$ (ej. $t=0,π/2,\pi, \dots$).
  2. Dibuja cada punto resultante en el espacio.
  3. Une los puntos con un trazo suave y fluido.

El Plano: La superficie plana $ax+by+cz=d$

Dibujar un plano “infinito” es imposible, por lo que en ingeniería se dibuja una “traza” o porción del plano. El método más efectivo es el de las intersecciones con los ejes:

1. Halla las intersecciones:
   • Si $y=0$ y $z=0$, despeja $x$ (punto en el eje $x$).
   • Si $x=0$ y $z=0$, despeja $y$ (punto en el eje $y$).
   • Si $x=0$ y $y=0$, despeja $z$ (punto en el eje $z$).
2. Dibuja el triángulo: Une esos tres puntos. Ese triángulo es una representación visual de la inclinación y posición del plano en ese octante.
3. Vector Normal: Recuerda que el plano siempre es perpendicular al vector $n=⟨a,b,c⟩$.
   • Dos planos son perpendiculares entre sí si $n_2 = k n_1$, en consecuencia los dos vectores normales son paralelos entre sí; ej. $P_1: x +2y + 3z = 4; P_2: 3x + 6y + 9z = 7$
   • Si dos vectores normales son perpendiculares entre sí ($n_1 \cdot n_2 = 0$), entonces los dos planos son perpendiculares; ej. $P_1: x +2y + 3z = 4; P_2: 2x -y = 7$

Distancia entre un punto y un plano

\begin{align*}
\text{x}  &= (\alpha, \beta, \gamma) \\
P &: ax + by + cz = d \\
\Rightarrow \text{n} & = (a, b, c) \\
\text{x} + t \text{n} & = (\alpha, \beta, \gamma) + t (a, b, c) \\
& = (\alpha + at, \beta + bt, \gamma + ct) \\
t & = \lambda
\end{align*}

\begin{align*}
\text{x} & = (1, -1, -3) \\
P & : x + 2y + 3z = 18 \\
\Rightarrow \text{n} & = (1, 2, 3) \\
\text{x} + t \text{n} & = (1, -1, -3) + t (1, 2, 3) \\
& = (1 + t, -1 + 2t, -3 + 3t) \\
(1+t) & + 2(-1+2t) + 3(-3+3t) = 18 \\
14t & =28 \\
t & = 2
\end{align*}

\begin{align*}
\text{y} & = [\text{x} + t \text{n}]_{t = \lambda} \\
& = (\alpha_2, \beta_2, \gamma_2) \\
|y-x| & = \lambda |n| \\ 
& = \lambda \sqrt{a^2+b^2+c^2}
\end{align*}

\begin{align*}
\text{y} & = [(1+t,-1+2t,-3+3t)]_{t=2} \\
& = (3,3,3) \\
|y-x| & = 2 |(1,2,3)| \\ 
& = 2 \sqrt{1^2+2^2+3^2} \\
& = 2 \sqrt{14}
\end{align*}

Distancia entre dos planos [paralelos]

Uno de los procedimientos para determinar la distancia entre dos planos paralelos, es halla un punto en uno de los planos y determinar la distancia entre dicho punto y el segundo plano, no sin antes verificar que los planos son paralelos.

\begin{align*}
P_1& : x + 2y + 2z = 1 & P_2 & : 2x + 4y + 4z = 11 \\
n_1 & = (1, 2, 2) & n_2 & = (2, 4, 4) = 2n_1  & \therefore P_1 || P_2
\end{align*} \\

Para encontrar un punto en el primer plano, podemos sustituir dos variables en el plano y hallar el valor de la tercera, así generar el punto en el plano:

P_1 : x + 2y + 2z = 1 \\
y = 0; z = 0 \Rightarrow x + 2(0) + 2(0) = 1 \\
x = 1 \\
\text{x} = (1, 0, 0)

Posteriormente, repetimos los pasos del procedimiento para calcular la distancia del punto al segundo plano:

\begin{align*}
\text{x} + t \text{n} & = (1,0,0) + t(2, 4, 4) \\
& = (1+2t,4t,4t) \\
2(1+2t) + 4(4t) + 4(4t) & = 11 \\
36t & = 9 \\
t & = 1 / 4 \\
\text{y} & = [ (1+2t,4t,4t) ]_{t=1/4} \\
& = (\frac{3}{2}, 1, 1) \\
|\text{x} - \text{y}| & = \frac{1}{4} \sqrt{ 2^2 + 4^2 + 4^2 } \\
& = \frac{1}{4} \times \sqrt{  36} \\
& = \frac{3}{2}
\end{align*}

Feldman, J., Rechnitzer, A. et Yeager, E. (30 de octubre de 2022). Ecuaciones de planos en 3d. University of British Columbia. Recuperado de https://espanol.libretexts.org/Bookshelves/Matematicas/Calculo_multivariable_CLP-3_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/01%3A_Vectores_y_Geometr%C3%ADa_en_Dos_y_Tres_Dimensiones/1.04%3A_Ecuaciones_de_planos_en_3d

Nodo Universitario de la Universidad de Guanajuato (s/f). INTRODUCCIÓN AL AL GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO. México. Recuperado de https://oa.ugto.mx/oa/oa-enmssm-0000001/introduccion_al_al_geometra_analtica_en_el_espacio.html